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中国科学技术大学2021夏令营试题
中国科学技术大学2021夏令营试题
数学分析
1.问题:开区间上的有界凸函数是否在上一致连续. (若问题正确,请给予严格证明;否则。请给出反例.)
2.设
证明:在中稠密,而且
3.设函数可微,并且在上恒不为,若且
证明:
4.设.令
证明:恒为常数.
线性代数
1.设给定二次曲面在直角坐标系下的方程为.请利用正交变换以及平移将其化为标准方程,并判断这是什么类型的曲面.
2.设,试证明极限存在,并且计算该极限值.表示矩阵的迹.
3.设为全体实方阵的实线性空间,对于任意,定义线性函数
设,若,证明:.
4.设为两个阶正定对称实方阵,证明:
实变函数
1.设,计算
2.设,证明:
(1)积分
对几乎所有的存在,且.
(2).
复变函数
1.用留数法计算积分
2.设是整函数,满足:只要就有.证明:是多项式.
微分几何
1.将欧式空间中平面上的圆圈
绕轴旋转一周生成环面,记为其中.
(1)请写出的参数表示,并计算的第一、二基本形式;
(2)计算的面积和高斯曲率,并找出的椭圆点和双曲点的区域;
(3)计算点绕轴生成的圆在上的测地曲率,并判断其是否为测地线.
2.请判断如下结论是否正确,并说明理由.
(1)设是中曲面间的光滑映射,且在对应点处具有相同的高斯曲率,即,则与局部等距.
(2)设是中具有正高斯曲率的紧致连通曲面,为上两条简单闭测地线,则会相交.
近世代数
1.考虑交错群,以及元素所在的共轭类.考虑在上的共轭作用
的稳定化子定义为
试具体计算的稳定化子,并列出中的所有元素.
2.考虑三元域,以及一元多项式环,其中为变元,考虑商环问:是否为整环?请具体列出的所有含单位元的子环.
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